Vector space(벡터공간)
Space : set closed under addition & scalar multiplication
V가 벡터의 합과 스칼라 곱의 연산이 정의되는 공집합이 아닌 벡터들로 이루어진 집합이고, 다음의 10가지 공리들(axioms)을 만족할 때 V를 벡터공간(vector space)이라고 한다. 이때 공리들은 V 안의 모든 벡터 u,v,w와 모든 스칼라 a, b에 대하여 성립해야 한다.
1) u + v ∈ V (덧셈에 대해 닫혀있다)
2) 모든 u, v에 대하여 u + v = v+ u (덧셈에 대한 교환법칙)
3) (u + v) + w = u + (v + w) (덧셈에 대한 결합법칙)
4) u + 0 = u인 영벡터가 V에 존해한다. (영벡터의 존재)
5) V상의 모든 u에 대하여 u + (-u) = 0를 만족하는 -u가 존대한다. (덧셈에 대한 역원)
6) u에 스칼라 a를 곱한 au도 V에 속한다 (스칼라 곱에 대해 닫혀있다.)
7) a(u + v) = au + av (스칼라 곱에 대한 배분법칙)
8) (a+b)u = au + bu (스칼라 곱에 대한 배분법칙)
9) a(bu) = (ab)u (스칼라 곱에 대한 결합법칙)
10) 1u = u (1은 스칼라 곱의 항등원)
스칼라를 실수 전체로 택한 벡터 공간을 실수 R 위의 벡터공간이라 한다.
cf) Talyor Series
cf) Talyor Theorems
부분공간(subspace)
벡터공간 V의 부분집합 W가 V에 정의된 다음의 두 연산을 만족할 때, 즉 벡터의 합과 스칼라의 곱에 대해 닫혀있는 새로운 벡터공간을 이룰 때 W를 V의 부분공간(subspace)이라고 한다.
1) u ∈ W이고 v ∈ W이면 u + v ∈ W
2) u ∈ W이고 a가 스칼라 값이면 au ∈ W
벡터공간 V의 원소 v1, v2, ... , vn과 스칼라 a1, a2, ... , an에 대하여
a1*v1 + a2*v2 + ... + an*vn
의 형태로 표현될 때, 이를 v1, v2, ..., vn의 선형결합(linear combination)이라고 한다.
v1, v2,.., vn의 선형 결합의 전체집합은 벡터공간 V의 부분공간이다.
Column Space of A
: set of all linear combinations from column vectors in A
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